Какие существуют натуральные числа

Свойства отношения следования

Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:

  1. Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.

  2. За каждым натуральным числом следует одно и только одно число

  3. Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом

  4. Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.

Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.

Свойства умножения относительно сложения и вычитания

  1. Переместительное свойство: $a b=b a$

    Сумма не изменяется при перестановке слагаемых

  2. Сочетательное свойство: $a (b c) =(a b) c$

    Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое

  3. От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.

  1. Распределительное свойство умножения относительно сложения

    $(a b)cdot c=ac bc$

    Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения

    Например, $5(x y)=5x 5y$

  2. Распределительное свойство умножение относительно вычитания

    $(a-b)cdot c=ac-bc$

    Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе

    Например, $5(x-y)=5x-5y$

Определение натуральных чисел[править]

Определение:
Натура́льные чи́сла (англ. natural numbers, естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

  • перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
  • обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.

Решение логарифмических уравнений

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком [math]mathbb{N}[/math]. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Определение:
Множество [math]mathbb N[/math] будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент [math] 1inmathbb N[/math] (единица) и функция [math]Scolonmathbb Ntomathbb N[/math] (функция следования) так, что выполнены следующие условия
  1. [math]1inmathbb{N}[/math] ([math]1[/math] является натуральным числом);
  2. Если [math]xinmathbb{N}[/math], то [math]S(x)inmathbb{N}[/math] (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
  3. [math]nexists xinmathbb{N} (S(x) = 1)[/math] ([math]1[/math] не следует ни за каким натуральным числом);
  4. Если [math]S(b)=a[/math] и [math]S(c)=a[/math], тогда [math]b=c[/math] (если натуральное число [math]a[/math] непосредственно следует как за числом [math]b[/math], так и за числом [math]c[/math], то [math]b=c[/math]);
  5. Аксиома индукции. Пусть [math]P(n)[/math] — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа [math]n[/math]. Тогда:
если [math]P(1)[/math] и [math]forall n;(P(n)Rightarrow P(S(n)))[/math], то [math]forall n;P(n)[/math]
(Если некоторое высказывание [math]P[/math] верно для [math]n=1[/math] (база индукции) и для любого [math]n[/math] при допущении, что верно [math]P(n)[/math], верно и [math]P(n 1)[/math](индукционное предположение), то[math]P(n)[/math] верно для любых натуральных [math]n[/math]).

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

  • [math]0=varnothing[/math]
  • [math]S(n)=ncupleft{nright}[/math]

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

  • [math]0=varnothing[/math]
  • [math]1=left{varnothingright}[/math]
  • [math]2=big{varnothing,;left{varnothingright}big}[/math]
  • [math]3=Big{varnothing,;left{varnothingright},;big{varnothing,;left{varnothingright}big}Big}[/math]

https://www.youtube.com/watch?v=ytpressru

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают [math]0, 1, 2, dots.[/math]

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, ldots[/math] И пусть первое утверждение [math]A_1[/math] верно и мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_k[/math] следует верность [math]A_{k 1}[/math]. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой аксиомы индукции, пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, ldots[/math]. И пусть мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_1, A_2, A_3, ldots, A_k[/math] следует верность [math]A_{k 1}[/math]. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Аксиому индукции можно заменить на аксиому существования минимума, и доказать аксиому индукции как теорему.

Теорема (О существовании минимума):

Для любого подмножества натурального ряда всегда существует минимум.
Т. е. [math]forall A subset mathbb N, A ne varnothing, exists x in A: forall y in A, x leqslant y[/math]

Из этой теоремы вытекает следующее утверждение, эквивалентное аксиоме математической индукции, но иногда более удобное при проведении доказательств.

Утверждение:

Если [math]T(n)[/math] истинно при [math]n = 1,[/math] а из того, что оно истинно при всех [math]n lt k,[/math] следует, что оно истинно и при [math]n = k,[/math] то [math]T(n)[/math] истинно для всех натуральных значений [math]n[/math].

[math]triangleright[/math]
Обозначим через [math]A[/math] подмножество натуральных чисел, для которых [math]T(n)[/math] ложно. Если это подмножество непусто, то оно содержит наименьшее число k. Этим числом не может быть [math]1[/math], так как по условию [math]T(1)[/math] истинно. Значит, [math]k gt 1[/math]. Но поскольку [math]k[/math] — наименьшее число, для которого [math]T(n)[/math] ложно, то для всех [math]n lt k[/math][math]T(n)[/math] истинно, а тогда по условию теорем оно должно быть истинно и при [math]n = k[/math]. Мы пришли к противоречию — одновременно оказалось, что [math]T(k)[/math] истинно и ложно. Следовательно, предположение о том, что [math]A[/math] не пустое множество, ложно. Значит, [math]A[/math] — пустое множество, т.е. нет натуральных чисел, для которых [math]T(n)[/math] ложно. Что означает, что [math]T(n)[/math] истинно для всех натуральных значений [math]n[/math].
[math]triangleleft[/math]

Свойства умножения относительно сложения и вычитания

  1. Свойство вычитания суммы из числа $a-(b c) =a-b-c$ если $b c ≤ a$

    Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое

  2. Свойство вычитания числа из суммы $(a b) -c=a (b-c)$, если $c ≤ b$

    Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое

  3. Если из числа вычесть нуль, то число не изменится

  4. Если из числа вычесть его само, то получится нуль

Какие существуют натуральные числа

Операции над натуральными числами[править]

Пусть [math]N(S) — [/math] мощность множества [math]S[/math]. Возьмём два не пересекающихся множества [math]A[/math] и [math]B,[/math] причём [math]N(A) = a[/math] и [math]N(B) = b[/math].
Тогда [math]a b[/math] можно определить как: [math]N ( A ∪ B )[/math].

Здесь, [math]A ∪ B — [/math] это объединение множеств [math]A и B[/math]. В альтернативной версии этого определения множества [math]A и B[/math] перекрываются и тогда в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.

Другое известное определение рекурсивно:
Пусть [math]n — [/math] следующее за [math]n[/math] натуральное число, например [math]0 = 1, 1 = 2.[/math] Пусть [math]a 0 = a[/math]. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: [math]a (b ) = (a b) [/math]. Отсюда [math]1 1 = 1 0 = (1 0) = 1 = 2[/math].

[math][C] = [A] cdot [B] = [A times B];[/math]
где: [math]A times B={(a, b) mid a in A, b in B}[/math] прямое произведение множеств — множество [math]C,[/math] элементами которого являются упорядоченные пары [math](a, b)[/math] для всевозможных  [math]a in A, b in B[/math]. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

https://www.youtube.com/watch?v=upload

Свойства умножения

  1. Переместительное $acdot b=bcdot a$

    Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей

  2. Сочетательное $acdot (bcdot c)=(acdot b)cdot c$

    Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель

  3. При умножении на единицу произведение не изменяется $mcdot 1=m$

  4. При умножении на нуль произведение равно нулю

  5. Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо

Определение натуральных чисел[править]

Определение:
Если натуральное число[math]n,[/math] не делится на натуральное число [math]m[/math], т.е. не существует такого натурального числа [math]k[/math] , что [math]n = m cdot k[/math], то деление называется делением с остатком (англ. modulo operation).

Формула деления с остатком: [math]n = m cdot k r,[/math] где [math]n,[/math] — делимое, [math]m,[/math] — делитель, [math]k,[/math] — частное, [math]r,[/math] — остаток, причем [math]0leqslant r lt b [/math]

Любое число можно представить в виде: [math]n = 2 cdot k r[/math], где остаток [math]r, = 0,[/math] или [math]r, = 1,[/math]
Любое число можно представить в виде: [math]n = 4 cdot k r[/math], где остаток [math]r = 0,[/math] или [math]r, = 1,[/math] или [math]r, = 2,[/math] или [math]r, = 3,[/math]
Любое число можно представить в виде: [math]n = m cdot k r[/math], где остаток [math]r,[/math] принимает значения от [math]0,[/math] до [math](m-1),[/math]

Основная теорема арифметики[править]

Лемма:
Если простое число [math]p[/math] делит без остатка произведение двух целых чисел[math]xcdot y[/math], то [math]p[/math] делит [math]x[/math] или [math]y[/math].
Доказательство:
[math]triangleright[/math]

Пусть [math]xcdot y[/math] делится на [math]p[/math], но [math]x[/math] не делится на [math]p[/math]. Тогда [math]x[/math] и [math]p[/math] — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа [math]u[/math] и [math]v[/math], что

[math]xcdot u pcdot v=1[/math] (соотношение Безу).

Умножая обе части на [math]y[/math], получаем

[math](xcdot y)cdot u pcdot vcdot y=y.[/math]

Оба слагаемых левой части делятся на [math]p[/math], значит, и правая часть делится на [math]p[/math].

[math]triangleleft[/math]

Сравнение натуральных чисел

  1. Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a

  2. Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.

  3. если $a

    Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a

    Решение: На основании указанного свойства ,т.к. по условию $a

  4. в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число

    Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества

  5. если $a

  6. Если $c

Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.

Правило округления натуральных чисел

Когда полная точность не нужна, или не возможна ,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д

При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$

https://www.youtube.com/watch?v=ytpolicyandsafetyru

При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д

Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.

  1. Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения

  2. Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число ,заменяют нулями

Какие существуют натуральные числа

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Семейный портал