Калькулятор иррациональных уравнений

Содержание

  1. Постановка задачи
  2. Решение задачи
    1. Анализ переключательной функции
    2. Метод Квайна
    3. Карты Карно
    4. Кубические покрытия
  3. Анализ полученных результатов
  4. Список литературы

Бесплатный онлайн калькулятор иррациональных уравнений

Наш бесплатный решатель позволит решить иррациональное уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все,
что вам необходимо
сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть
видео
инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте.

Вопрос 1. Интервальная форма задания функции. Постановка задачи минимизации.

Геометрический представление: (отображение функции на n-мерный булев куб)
Любому набору значений аргументов соответствует элементарная конъюнкция, содержащая все эти переменные — конституента единицы.

Те вершины n-мерного булева куба, в которых функция принимает единичное значение называются 0-кубами.

Два 0-куба образуют 1-куб, если соответствующие булевы вектора(их координаты) отличаются между собой значением только одной координаты(или одной компоненты). Эти координаты носят название свободной координаты. Обозначение x, остальные координаты 0-куба называются связанными и имеют либо 1, либо 0 значение.

И так далее до n-куба( в случае тавтологии).

В общем случае, r-куб-это такой куб в булевом пространстве, у которого r свободных компонент и n-r связанных компонент.

Пример:(1x1xx1) — 3-куб(1x1x01),(1x1x11)- два 2-куба. Они являются гранями этого 3-куба(образуют его).

Если для какой-то функции взять все возможные кубы одинаковой размерности, то получаем множество кубов(или комплекс кубов).Kr(f) — комплекс r-кубов функции f/

Для некоторой функции всегда есть комплекс(Если Kn(f) содержит куб, то f — константа 1

ip(a1a2…an-1an)= a1a2…ai-1 p ai 1…an-1an, ai=x, p∈{0;1}
∅, ai ≠ x

где C-получаемый куб.
=x есть две грани (вместо i-ой либо 0, либо 1).

Оператор сограней
позволяет вычислить куб большей размерности, гранью которого может быть этот куб.

δi(a1a2…an-1an)= a1a2…ai-1 x ai 1…an-1an, ai≠x, Cr 1⊆K(f)
∅, ai=x, Cr 1⊄K(f)

Подмножество вершин булева куба, соответствующие кубу размерности r называется интервалом булева пространства ранга r. (интервал 1 ранга — 1×1, интервал 2 ранга — x1x)
Для нашего примера:K0(f)={101,110,111,010,011}K1(f)={01x,11x,1×1,x11,x10}K2(f)={x1x}

В общем случае комплекс кубов определенного ранга не является покрытием исходной функции(за исключением K0).

В нашем примере K2 не является покрытием, хотя K1 — покрытие.
K(f)=K0∪K1∪K2 — для нашей функции

Куб большей размерности покрывает кубы меньшей размерности, если они могут быть получены из него последовательным применением оператора граней.
(x1x) имеет грани (01x) и (11x), которые имеют грани : (010),(011) и (110),(111)

Если взять интервал булева пространства, то аналитически его можно описать в виде соответствующих элементарных конъюнкций.

Некоторый комплекс кубов — L, таких, что каждая вершина из комплекса K0(f) включена по крайней мер в один из кубов комплекса L, называется покрытием комплекса K функции f.

Каждое покрытие комплекса K(f) определяет некоторую ДНФ переключательной функции.

Карта Карно

Покрытие можно рассматривать (с точки зрения реализации), как двухуровневую схему.

Уровни схемы:
Аргументы (0-ой уровень) конъюнктивные члены(элементарные конъюнкции) (1-ый уровень) дизъюнкция (2-ой уровень)

Не учитывается инверсия аргументов на нулевом уровне.

МинимизацияЦена r-куба: c=n-r — число связанных переменных, количество символов в элементарной конъюнкции(совпадает с ценой в смысле Квайне)

-цена покрытия, где qr-количество кубов размерности r в покрытии L.
-вторая функция цены покрытия(учитывает число кубов)

Задача минимизации: Найти такое покрытие L комплекса K(f), цена которого будет минимальна — минимизация в смысле Квайне.

Задача решается алгебраически, вводится свой математический аппарат. Это аппарат исчисления кубических комплексов (задает операции над кубами).

Каждая операция проходит в два этапа:
I Этап. Предварительное вычисление путем покоординатной обработки кубов по правилам, задаваемым с помощью таблиц покоординатной обработки.
II Этап. Окончательный.

Зададим операции над кубами:
a = (a1 a2 … an)
b = (b1 b2 … bn)

  1. Операция *: c=a*b

    По содержанию * — это нахождение куба некоторой размерности r, грани которого содержаться в кубах a и b.

    ci=ai*bi
    0 1 x
    0 0 y 0
    1 y 1 1
    x 0 1 x
    a*b = ∅, если ∑αici{amp}gt;1
    c, если ∑αici≤1

    где αici = 0, ci≠y
    1, ci=y

    c = ([a1*b1] … [an*bn]).

    При чем, если результат операции — y, то y заменяется на x.

    операция * (101)*(111)
    после предварительной обработки:
    =(1y1)
    Окончательный вариант:
    =(1×1)

    (x11)*(101)=(1×1)

    (x10)
    (101)
    (1yy)
    — нет общих граней

  2. Операция пересечения кубов.

    c = a ∩ b

    покоординатно!

    ci=ai∩bi
    0 1 x
    0 0 0
    1 1 1
    x 0 1 x

    a ∩ b = ∅, если ∃i (ai∩bi = ∅
    c в противном случае

    Пересечение — нахождение общей части булева пространства, покрываемой этими кубами (т.е. куба или грани какого-то уровня)
    операция пересечения кубов
    (1×1)∩(x1x)=(111)

  3. Операция вычитания кубов (#).
    ci=ai#bi
    0 1 x
    0 z y z
    1 y z z
    x 1 0 z

    c = a, если ∃i (ai#bi=y)
    ∅, если ∀i (ai#bi=z)
    (a1a2…ai-1αai 1…an), αi∈{0,1}

    * и ∪ обладают свойством коммутативности, но a#b ≠ b#a !

    Операция вычитания кубов удаляет из куба a общую часть кубов уменьшаемого и вычитаемого (т.е. пересечение кубов a и b).

    В результате вычитания можем иметь несколько кубов.

    Если куб a входит в куб b, то результат — ∅

    Пример:


    a#b = (1×1)#(x11) = (z0z) = (101)

    c#b = (1xx)#(x11) = (z00) = {(10x),(1×0)}

y ={amp}gt; (2) v (3B) v (20) v (21) v (1D) v (6) v (1B) v (D) v (24) v (2C) v (23) v (B) v 36 v 1C v 3A v 7 v A v 8 v 10 v 38 v 12 v 15 v 5 v 1F v 3F v 1A v 17 v 3E v 3D v 39 v 9 v 37 v 19 v 2A v 11 v 18 v 4 v 3C v 2E v 29 v 0 v 2D v 28 v 25 v 14 v 1E

Необходимо выполнить следующие задачи:

  1. Доопределить функцию нулями, минимизировать полученную функцию методом Квайна;
  2. Доопределить функцию единицами и произвести минимизацию, используя карты Карно;
  3. Минимизировать исходную функцию методом кубических покрытий;
  4. Проанализировать полученные результаты;

2. Решение задачи

https://www.youtube.com/watch?v=https:jCtM27FFZ9I

Представим исходную последовательность в виде таблицы истинности.

(2) v (3B) v (20) v (21) v (1D) v (6) v (1B) v (D) v (24) v (2C) v (23) v (B) v 36 v 1C v 3A v 7 v A v 8 v 10 v 38 v 12 v 15 v 5 v 1F v 3F v 1A v 17 v 3E v 3D v 39 v 9 v 37 v 19 v 2A v 11 v 18 v 4 v 3C v 2E v 29 v 0 v 2D v 28 v 25 v 14 v 1E

Таблица истинности исходной функции
Набор{amp}gt; Значение исходной функции Набор{amp}gt; Значение исходной функции
123456 123456
000000 1 100000 ?
000001 0 100001 ?
000010 ? 100010 0
000011 0 100011 ?
000100 1 100100 ?
000101 1 100101 1
000110 ? 100110 0
000111 1 100111 0
001000 1 101000 1
001001 1 101001 1
001010 1 101010 1
001011 ? 101011 0
001100 0 101100 ?
001101 ? 101101 1
001110 0 101110 1
001111 0 101111 0
010000 1 110000 0
010001 1 110001 0
010010 1 110010 0
010011 0 110011 0
010100 1 110100 0
010101 1 110101 0
010110 0 110110 1
010111 1 110111 1
011000 1 111000 1
011001 1 111001 1
011010 1 111010 1
011011 ? 111011 ?
011100 1 111100 1
011101 ? 111101 1
011110 1 111110 1
011111 1 111111 1

‘?’ обозначено значение наборов, на которых функция не определена.

Цена ДНФ является суммой длин всех входящих в нее конъюнкций.

Доопределим функцию нулями, получим конституэнты единицы, затем выполним операции попарного неполного склеивания и элементарного поглощения.

No Эл. Конъюнкция Поглощение
1 123456
2 123456
3 123456
4 123456
5 123456
6 123456
7 123456
8 123456
9 123456
10 123456
11 123456
12 123456
13 123456
14 123456
15 123456
16 123456
17 123456
18 123456
19 123456
20 123456
21 123456
22 123456
23 123456
24 123456
25 123456
26 123456
27 123456
28 123456
29 123456
30 123456
31 123456
32 123456
33 123456
34 123456
Номера скл. Результат склеивания
1 — 2 12356
1 — 5 12456
1 — 8 13456
2 — 3 12345
2 — 11 13456
3 — 4 12346
3 — 12 13456
3 — 20 23456
4 — 13 13456
5 — 6 12345
5 — 7 12346
5 — 14 13456
5 — 21 23456
6 — 15 13456
6 — 22 23456
7 — 16 13456
7 — 23 23456
8 — 9 12345
8 — 10 12346
8 — 11 12356
8 — 14 12456
9 — 12 12356
9 — 15 12456
10 — 16 12456
11 — 12 12345
11 — 17 12456
12 — 13 12346
13 — 19 12456
13 — 27 23456
14 — 15 12345
14 — 16 12346
14 — 17 12356
14 — 28 23456
15 — 29 23456
16 — 18 12356
16 — 30 23456
17 — 18 12346
17 — 31 23456
18 — 19 12345
18 — 33 23456
19 — 34 23456
20 — 24 12456
21 — 22 12345
21 — 23 12346
21 — 28 13456
22 — 24 12356
22 — 29 13456
23 — 25 12356
23 — 30 13456
24 — 32 13456
25 — 33 13456
26 — 27 12345
26 — 33 12456
27 — 34 12456
28 — 29 12345
28 — 30 12346
28 — 31 12356
29 — 32 12356
30 — 33 12356
31 — 32 12345
31 — 33 12346
32 — 34 12346
33 — 34 12345

Карта Карно

На данном шаге все импликанты участвовали в операциях попарного неполного склеивания и были поглощены своими собственными частями. Поэтому простые импликанты на этом шаге не получены.

No Эл. Конъюнкция Поглощение
1 12356
2 12456
3 13456
4 12345
5 13456
6 12346
7 13456
8 23456
9 13456
10 12345
11 12346
12 13456
13 23456
14 13456
15 23456
16 13456
17 23456
18 12345
19 12346
20 12356
21 12456
22 12356
23 12456
24 12456
25 12345
26 12456
27 12346
28 12456
29 23456
30 12345
31 12346
32 12356
33 23456
34 23456
35 12356
36 23456
37 12346
38 23456
39 12345
40 23456
41 23456
42 12456
43 12345
44 12346
45 13456
46 12356
47 13456
48 12356
49 13456
50 13456
51 13456
52 12345
53 12456
54 12456
55 12345
56 12346
57 12356
58 12356
59 12356
60 12345
61 12346
62 12346
63 12345
Номера скл. Результат склеивания
1 — 20 1356
2 — 21 1456
3 — 5 1356
3 — 12 1456
4 — 25 1345
5 — 7 1345
6 — 27 1346
7 — 9 1346
10 — 30 1345
10 — 43 2345
11 — 31 1346
11 — 44 2346
12 — 14 1345
12 — 16 1346
12 — 45 3456
13 — 15 2345
13 — 17 2346
13 — 33 3456
14 — 47 3456
15 — 34 3456
16 — 49 3456
17 — 36 3456
18 — 25 1235
18 — 30 1245
19 — 31 1246
20 — 22 1235
20 — 32 1256
21 — 23 1245
21 — 24 1246
21 — 26 1256
28 — 54 2456
29 — 41 2456
30 — 55 2345
31 — 37 1236
31 — 56 2346
32 — 35 1236
32 — 57 2356
33 — 34 2345
33 — 36 2346
33 — 38 2356
35 — 59 2356
36 — 40 2356
37 — 61 2346
38 — 40 2346
39 — 63 2345
40 — 41 2345
43 — 55 1345
44 — 56 1346
45 — 47 1345
45 — 49 1346
46 — 58 1356
47 — 50 1356
48 — 59 1356
49 — 51 1356
52 — 63 1245
53 — 54 1245
55 — 60 1235
56 — 61 1236
57 — 58 1235
57 — 59 1236
60 — 63 1234
61 — 62 1234

В результате на данном шаге получаем простые импликанты:23456 , 12456

No Эл. Конъюнкция Поглощение
1 1356
2 1456
3 1345
4 1346
5 1345
6 2345
7 1346
8 2346
9 3456
10 3456
11 3456
12 1235
13 1245
14 1246
15 1256
16 2456
17 2345
18 1236
19 2346
20 2356
21 2356
22 2346
23 2345
24 1345
25 1346
26 1356
27 1356
28 1245
29 1235
30 1236
31 1234
Номера скл. Результат склеивания
5 — 24 345
6 — 17 345
7 — 25 346
8 — 19 346
9 — 10 345
9 — 11 346
18 — 30 236
19 — 22 236
20 — 21 236

В результате на данном шаге получаем простые импликанты:1356 , 1456 , 1345 , 1346 , 1235 , 1245 , 1246 , 1256 , 2456 , 2345 , 1356 , 1356 , 1245 , 1235 , 1234

No Эл. Конъюнкция Поглощение
1 345
2 346
3 236

В результате на данном шаге получаем простые импликанты:345 , 346 , 236

СкДНФ: 23456 v 12456 v 1356 v 1456 v 1345 v 1346 v 1235 v 1245 v 1246 v 1256 v 2456 v 2345 v 1356 v 1356 v 1245 v 1235 v 1234 v 345 v 346 v 236

Обозначения:

  • Единицы ДНФ, покрываемые импликантами СкДНФ, обозначаются » «.Импликанты, попадающие в ядро помечаются «*».
  • Единицы функции, которые покрываются только какой-то одной импликантой из системы простых импликант, помечаются “{amp}gt;”.
  • Единицы функции, покрываемые ядром, но не покрывамые только какой-то одной импликантой из системы простых импликант, помечаются “{amp}gt;{amp}gt;”.
























{amp}gt;{amp}gt;











{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;











{amp}gt;











{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;























{amp}gt;























{amp}gt;{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;



























































{amp}gt;{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;























{amp}gt;











{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;



































{amp}gt;{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;











23456
12456
1356
1456
1345
1346*
1235
1245
1246*
1256
2456
2345
1356
1356*
1245*
1235
1234
345*
346*
236




































































































































23456
12456
1356
1456
1345
1235
1245
1256
2456
2345
1356
1235
1234
236
{amp}gt;











{amp}gt;











{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;























{amp}gt;{amp}gt;











{amp}gt;











{amp}gt;











{amp}gt;{amp}gt;



































12456*
1356*
1235*
1256
2345*
1356
1235
236
123456 123456 123456
1256
1356
1235
236
123456{amp}gt; 123456{amp}gt;{amp}gt; 123456{amp}gt;
1235*
236*

МДНФ: 1346 v 1246 v 1356 v 1245 v 345 v 346 v 12456 v 1356 v 1235 v 2345 v 1235 v 236, цена=46

Дополним функцию единицами и построим Карты Карно.

56 56
56 56

Компактных групп размера 16 — 1Компактных групп размера 8 — 9Компактных групп размера 4 — 13Компактных групп размера 2 — 1

Понятие равносильности формул

Определение 22.1. Две формулы, и логики предикатов называются равносильными на множестве , если при любой подстановке в эти формулы вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, определенных на , формулы превращаются в равносильные предикаты. Если две формулы равносильны на любых множествах, то их будем называть просто равносильными. Равносильность формул будем обозначать так: .

Карты Карно для 6 переменных

Приведем пример двух неравносильных формул логики предикатов. Покажем, что

В самом деле, подставим вместо предикатных переменных и конкретные предикаты и , определенные на множестве соответственно, где есть » — четно», а есть » — нечетно». Тогда левая формула превратится в высказывание (нульместный предикат) «каждое натуральное число либо нечетно, либо четно», которое истинно.

Это замечание вместе с теоремами 21.9–21.14 позволяет указать наиболее важные примеры равносильных формул.

Как и в алгебре высказываний, можно заменять одну равносильную формулу другой. Переход от одной равносильной формулы к другой называется равносильным преобразованием исходной формулы. В процессе равносильных преобразований формул логики предикатов могут использоваться равносильности, известные из алгебры высказываний.

Логическое следование формул логики предикатов

https://www.youtube.com/watch?v=ytaboutru

Равносильные преобразования позволяют приводить формулы к тому или иному более удобному виду. Один из таких видов носит название приведенной формы.

Определение 22.2. Приведенной формой для формулы логики предикатов называется такая равносильная ей формула, в которой из операций алгебры высказываний имеются только операции , причем знаки отрицания относятся лишь к предикатным переменным и к высказываниям.

Теорема 22.3.Для каждой формулы логики предикатов существует приведенная форма.

Доказательство. Проведем доказательство методом математической индукции по числу логических связок в формуле (включая кванторы общности и существования).

Каждая из формул содержит логических связок не более , а поэтому, по предположению индукции, обладает приведенной формой. Пусть и — приведенные формы для формул и соответственно. Отсюда формулы

являются приведенными формами для формул соответственно.

Остается рассмотреть случаи, когда имеет один из следующих видов: или .

Пусть есть . Тогда формула может не быть приведенной формой для формулы . Строго говоря, для этого случая следует провести доказательство также методом математической индукции по числу логических связок формулы . Если атомарна, т.е. — предикатная переменная , то есть — приведенная форма. Если же — составная формула, то задача сводится к пронесению знака через кванторы и операции и (другие логические операции не входят в приведенную форму ).

Далее, пусть есть . Тогда на основании теоремы 4.4 (пункт у) формула равносильна формуле . Заменив формулы и на равносильные им приведенные формы и соответственно, получим равносильную формулу , которая, вообще говоря, не является приведенной. Но, на основании предыдущего абзаца, можно найти для формулы приведенную форму . Тогда ясно, что формула имеет приведенный вид и равносильна исходной формуле .

Наконец, если есть , то на основании равносильности теоремы 4.4, (пункт ч) равносильна формуле . В предыдущем абзаце было показано, как найти приведенные формы и для формул и соответственно. Тогда ясно, что формула и имеет приведенный вид и равносильна исходной формуле .

Калькулятор иррациональных уравнений

Итак, в любом случае формула обладает приведенной формой. Теорема доказана.

причем обратное следование не выполняется.

Наконец обратим внимание на тавтологии теоремы 21.13, выражающие законы удаления квантора общности и введения квантора существования

1) — правило удаления квантора общности или правило универсальной конкретизации);

https://www.youtube.com/watch?v=upload

2) — правило введения квантора существования (или правило экзистенциального обобщения).

при условии, что ни в одну формулу из совокупности и в формулу предметная переменная не входит свободно.

Обоснуем, например, первое из этих правил (второе обоснуйте самостоятельно). По условию , т.е. формула превращается в тождественно истинный предикат при всякой такой -интерпретации, при которой в тождественно истинные предикаты превращаются все формулы из совокупности . Пусть мы имеем такую интерпретацию и при ней формула превращается в тождественно истинный предикат от переменных . Тогда, по определению квантора общности, предикат от переменных также будет тождественно истинным. Это и означает, что .

https://www.youtube.com/watch?v=ytcopyrightru

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Семейный портал