Однополостный гиперболоид уравнение

Поверхности вращения.

Определение.

Поверхность (S) называется поверхностью вращения с осью (d), если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой (d) и лежат в плоскостях, перпендикулярных данной прямой.

Рассмотрим линию (L), которая лежит в плоскости (P), проходящей через ось вращения (d) (рис. 43), и будем вращать ее вокруг этой оси. Каждая точка линии опишет окружность, а вся линия — поверхность вращения.

Рис. 10.1. Поверхность вращения.

Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат (O, boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}, boldsymbol{e}_{3}) на оси (d), вектор (boldsymbol{e}_{3}) направим вдоль (d), а вектор (boldsymbol{e}_{1}) поместим в плоскости (P). Таким образом, (O, boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{3}) — декартова система координат в плоскости (P). Пусть линия (L) имеет в этой системе координат уравнение (f(x, y)=0).

https://www.youtube.com/watch?v=ytpolicyandsafetyru

Рассмотрим точку (M(x, y, z)). Через нее проходит окружность, которая имеет центр на оси (d) и лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси. Радиус окружности равен расстоянию от (M) до оси, то есть (sqrt{x^{2} y^{2}}). Точка (M) лежит на поверхности вращения тогда и только тогда, когда на указанной окружности имеется точка Мь принадлежащая вращаемой линии (L).

равенство$$fleft(pm sqrt{x^{2} y^{2}}, zright)=0label{ref1}$$должно быть выполнено хотя бы при одном из двух знаков перед корнем. Это условие, которое можно записать также в виде$$fleft(sqrt{x^{2} y^{2}}, zright)fleft(-sqrt{x^{2} y^{2}}, zright)=0,label{ref2}$$и является уравнением поверхности вращения линии (L) вокруг оси (d).

Эллипсоид.

Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его осей симметрии. Направив вектор (boldsymbol{e}_{3}) сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим уравнения эллипса в следующих видах:$$frac{x^{2}}{a^{2}} frac{z^{2}}{c^{2}}=1, frac{z^{2}}{a^{2}} frac{x^{2}}{c^{2}}=1.

nonumber$$(Здесь через (c) обозначена малая полуось эллипса.) В силу формулы eqref{ref1} уравнениями соответствующих поверхностей вращения будут$$frac{x^{2} y^{2}}{a^{2}} frac{z^{2}}{c^{2}}=1, frac{z^{2}}{a^{2}} frac{x^{2} y^{2}}{c^{2}}=1 (a {amp}gt; c).label{ref3}$$Поверхности с такими уравнениями называются соответственно сжатым и вытянутым эллипсоидами вращения (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Сжатый (а) и вытянутый (б) эллипсоиды вращения.

Каждую точку (M(x, y, z)) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости (y=0) так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех точек отношении (lambda {amp}lt; 1). После сдвига точка попадет в положение (M'(x’, y’, z’)), где (x’=x), (y’=y), (z’=z).

Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с уравнением$$frac{x’^{2}}{a^{2}} frac{y’^{2}}{b^{2}} frac{z’^{2}}{c^{2}}=1,label{ref4}$$где (b=lambda a). Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет уравнение eqref{ref4}, называется эллипсоидом (рис. 10.3). Если случайно окажется, что (b=c), мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый.

Рис. 10.3. Эллипсоид.

Эллипсоид так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения eqref{ref4} видно, что начало канонической системы координат — центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости — его плоскости симметрии.

Эллипсоид можно получить из сферы (x^{2} y^{2} z^{2}=a^{2}) сжатиями к плоскостям (y=0) и (z=0) в отношениях (lambda=b/a) и (mu=c/a).

В этой статье нам часто придется прибегать к сжатию, и мы не будем его каждый раз описывать столь подробно.

Конус второго порядка.

Рассмотрим на плоскости (P) пару пересекающихся прямых, задаваемую в системе координат (O, boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{3}) уравнением (a^{2}x^{2}-c^{2}z^{2}=0). Поверхность, получаемая вращением этой линии вокруг оси аппликат, имеет уравнение$$a^{2}(x^{2} y^{2})-c^{2}z^{2}=0label{ref5}$$и носит название прямого кругового конуса (рис. 10.4).

Обратите внимание на то, что левая часть уравнения eqref{ref6} — однородная функция, и поверхность является конусом в смысле определения, введенного ранее.

Рис. 10.4. Прямой круговой конус.

Эллиптический параболоид.

Вращая параболу (x^{2}=2pz) вокруг ее оси симметрии, мы получаем поверхность с уравнением$$x^{2} y^{2}=2pz.label{ref13}$$Она называется параболоидом вращения. Сжатие к плоскости (y=0) переводит параболоид вращения в поверхность, уравнение которой приводится к виду$$frac{x^{2}}{a^{2}} frac{y^{2}}{b^{2}}=2z.label{ref14}$$

https://www.youtube.com/watch?v=ytadvertiseru

Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом (рис. 10.7).

Рис. 10.7. Эллиптический параболоид.
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Семейный портал