Окружность на плоскости

Общие определения

Окружность — это множество точек, которое располагается на одинаковом расстоянии от ее центра, представленного точкой.

Для любой точки L, лежащей на окружности, действует равенство OL=R. (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

https://www.youtube.com/watch?v=upload

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой.

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D). Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2pi R

Площадь круга: S=pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD. Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Окружность на плоскости

Длину дуги можно найти по формуле:

  1. Используя градусную меру: CD = frac{pi R alpha ^{circ}}{180^{circ}}
  2. Используя радианную меру: CD = alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N, то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N, равны между собой.

ANcdot NB = CN cdot ND

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Фигура Рисунок Определение и свойства
Окружность Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

      Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

   Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

      Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

      Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

      Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

     Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

      Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг
Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус
Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда
Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр
Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная
Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая
Отрезки прямые связанные с окружностью хорда касательная секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC cdot BC = EC cdot DC

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура Рисунок Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде Свойства хорд и дуг окружности Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды Свойства хорд и дуг окружности Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины Свойства хорд и дуг окружности Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги Свойства хорд и дуг окружности У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды Свойства хорд и дуг окружности Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Свойства хорд и дуг окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды
Свойства хорд и дуг окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды
Свойства хорд и дуг окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности
Свойства хорд и дуг окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины
Свойства хорд и дуг окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги
Свойства хорд и дуг окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды
Свойства хорд и дуг окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

https://www.youtube.com/watch?v=ytpolicyandsafetyru

angle COD = cup CD = alpha ^{circ}

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

хорда касательная секущая теорема о бабочке доказательство теорем

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

angle AOB = 2 angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

angle CBD = angle CED = angle CAD = 90^ {circ}

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

angle ADB = angle AEB = angle AFB

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {circ}.

angle ADB angle AKB = 180^ {circ}

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

angle DMC = angle ADM angle DAM = frac{1}{2} left ( cup DmC cup AlB right )

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

angle M = angle CBD — angle ACB = frac{1}{2} left ( cup DmC — cup AlB right )

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Фигура Рисунок Теорема
Пересекающиеся хорды Свойства хорд и дуг окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

теорема о пересекающихся хордах

Посмотреть доказательство

Касательные, проведённые к окружности из одной точки Теоремы о длинах хорд касательных и секущих

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

AB = AC

Посмотреть доказательство

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки Теоремы о длинах хорд касательных и секущих

Справедливо равенство

теорема о касательной и секущей

Посмотреть доказательство

Секущие, проведённые из одной точки вне круга Теоремы о длинах хорд касательных и секущих

Справедливо равенство:

теорема о двух секущих

Посмотреть доказательство

Пересекающиеся хорды
Свойства хорд и дуг окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

теорема о пересекающихся хордах

Посмотреть доказательство

Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Теоремы о длинах хорд касательных и секущих

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

AB = AC

Посмотреть доказательство

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Теоремы о длинах хорд касательных и секущих

Справедливо равенство

теорема о касательной и секущей

Посмотреть доказательство

Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Теоремы о длинах хорд касательных и секущих

Справедливо равенство:

теорема о двух секущих

Посмотреть доказательство

Пересекающиеся хорды
Свойства хорд и дуг окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

теорема о пересекающихся хордах

Посмотреть доказательство

Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Теоремы о длинах хорд касательных и секущих
Теоремы о длинах хорд касательных и секущих

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

AB = AC

Посмотреть доказательство

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Теоремы о длинах хорд касательных и секущих
Теоремы о длинах хорд касательных и секущих

Справедливо равенство

теорема о касательной и секущей

Посмотреть доказательство

Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Теоремы о длинах хорд касательных и секущих
Теоремы о длинах хорд касательных и секущих

Справедливо равенство:

теорема о двух секущих

Посмотреть доказательство

      Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Рис. 1

      Тогда справедливо равенство

Окружность с хордой, диаметром и радиусом

      Доказательство. Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

      Теорема 2 . Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Рис. 2

      Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство. Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC, проходящей через точку касания B. Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC. Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC. Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

      Теорема 3 . Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Рис. 3

      Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

      Доказательство. Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

https://www.youtube.com/watch?v=https:accounts.google.comServiceLogin

Рис. 4

      Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

Хорда разбивает окружность на две дуги

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

S = pr,

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Окружность с центральным углом

r = frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

https://www.youtube.com/watch?v=ytaboutru

AB DC = AD BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

r = frac{S}{p},

где p = frac{a b c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника.

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3-мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ circ}.

angle A angle C = angle B angle D = 180^ {circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

R = frac{a}{2 sin A} = frac{b}{2 sin B} = frac{c}{2 sin C}

R = frac{abc}{4 S}

a, b, c — длины сторон треугольника,

Диаметр делит хорду и дуги окружности пополам

S — площадь треугольника.

Теорема о бабочке

      Теорема о бабочке. Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Рис. 5

      Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG, получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG, получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Поэтому

https://www.youtube.com/watch?v=playlist

      Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL, получим равенство

откуда вытекает равенство

x = y ,

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

https://www.youtube.com/watch?v=ytcreatorsru

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Семейный портал