Как складывать подобные одночлены

Определения и примеры

Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней. Например, выражения 5a, 3ab2 и −62aa2b3 являются одночленами.

Одночленом также является любое отдельное число, любая переменная или любая степень. Например, число 9 является одночленом, переменная x является одночленом, степень 52 является одночленом.

Приведение одночлена к стандартному виду

Этот одночлен выглядит не очень аккуратно. Чтобы сделать его проще, нужно привести его к так называемому стандартному виду.

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.

Ещё один нюанс заключается в том, что в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

Далее в одночлене 3a25a3b2 содержатся степени a2 и a3, которые имеют одинаковое основание a. Из тождественных преобразований со степенями известно, что при перемножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели складывают. Тогда перемножение степеней a2 и a3 даст в результате a5. Записываем a5 рядом с числом 15

15a5b2

Мы привели одночлен 3a25a3b2 к стандартному виду. В результате получили одночлен 15a5b2

3a25a3b2 = 15a5b2

Числовой сомножитель 15 называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.

Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице. Так, коэффициентом одночлена abc является 1, поскольку abc это произведение единицы и abc

abc = 1 × abc

А коэффициентом одночлена −abcбудет −1, поскольку −abc это произведение минус единицы и abc

−abc = −1 × abc

Степенью одночлена называют сумму показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Например, степенью одночлена 15a5b2 является 7. Это потому что переменная a имеет показатель 5, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 5 2 = 7. Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.

Ещё пример. Степенью одночлена 7ab2 является 3. Здесь переменная a имеет показатель 1, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 1   2 = 3.

Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю. Например, степень одночлена 11 равна нулю.

Не следует путать степень одночлена и степень числа. Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей, тогда как степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен. В одночлене 11 нет переменных, поэтому его степень равна нулю.

Пример 1. Привести одночлен 5xx3ya2 к стандартному виду

Далее в одночлене 5xx3ya2 содержатся переменные x и x. Перемножим их, получим x2.

15x2ya2

Получили одночлен 15x2ya2, который приведён к стандартному виду. Буквенные сомножители принято записывать в алфавитном порядке. Тогда одночлен 15x2ya2 примет вид 15a2x2y.

Поэтому, 5xx3ya2 = 15a2x2y.

Пример 2. Привести одночлен 2m3n × 0,4mn к стандартному виду

Перемножим числа, переменные и степени по отдельности.

2m3n × 0,4mn = 2 × 0,4 × m3 × m × n × n = 0,8m4n2

Числа, переменные и степени при перемножении разрешается заключать в скобки. Делается это для удобства. Так, в данном примере перемножение чисел 2 и 0,4 можно заключить в скобки. Также в скобки можно заключить перемножение m3 × m и n × n

2m3n × 0,4mn = (2 × 0,4) × (m3 × m) × (n × n) = 0,8m4n2

2m3n × 0,4mn = 0,8m4n2

Но чтобы в уме приводить одночлен к стандартному виду, тема умножения целых чисел и умножения степеней должна быть изучена на хорошем уровне.

Сложение и вычитание одночленов

Одночлены можно складывать и вычитать. Чтобы это было возможно, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути приведение подобных слагаемых, которое мы рассматривали при изучении буквенных выражений.

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Пример 1. Сложить одночлены 6a2b и 2a2b

6a2b 2a2b

Сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a2b оставим без изменений

6a2b 2a2b = 8a2b

Пример 2. Вычесть из одночлена 5a2b3 одночлен 2a2b3

5a2b3 − 2a2b3

5a2b3 − 2a2b3 = 5a2b3 (−2a2b3) = 3a2b3

5a2b3 − 2a2b3 = 3a2b3

Умножение одночленов

Одночлены можно перемножать. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.

Пример 1. Перемножить одночлены 5xи 8y

5x × 8y = (5 ×  8) × (x × y) = 40xy

Пример 2. Перемножить одночлены 5x2y3 и 7x3y2c

5x2y3 × 7x3y2c = (5 × 7) × (x2x3) × (y3y2) × c = 35x5y5c

Пример 3. Перемножить одночлены −5a2bc и 2a2b4

−5a2bc × 2a2b4 = (−5 × 2) × (a2a2) × (bb4) × c = −10a4b5c

Пример 4. Перемножить одночлены x2y5 и (−6xy2)

x2y5 × (−6xy2) = −6 × (x2x) × (y5y2) = −6x3y7

Пример 5. Найти значение выражения 

Определения и примеры

Одночлен можно разделить на другой одночлен. Для этого нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.

Первый одночлен 8a2b2 будем называть делимым, а второй 4ab — делителем. А одночлен, который получится в результате, назовём частным.

Теперь делим буквенную часть. В делимом содержится a2, в делителе — просто a. Делим a2 на a, получаем a, поскольку a2 : a = a2 − 1 = a. Записываем в частном a после 2

Далее в делимом содержится b2, в делителе — просто b. Делим b2 на b, получаем b, поскольку b2 : b = b2 − 1 = b. Записываем в частном b после a

Значит, при делении одночлена 8a2b2 на одночлен 4ab получается одночлен 2ab.

Сразу можно выполнить проверку. При умножении частного на делитель должно получаться делимое. В нашем случае, если 2ab умножить на 4ab, должно получиться 8a2b2

2ab × 4ab = (2 × 4) × (aa) × (bb) = 8a2b2

Не всегда можно первый одночлен разделить на второй одночлен. Например, если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то говорят, что деление невозможно.

К примеру, одночлен 6xy2 нельзя разделить на одночлен 3xyz. В делителе 3xyz содержится переменная z, которая не содержится в делимом 6xy2.

Проще говоря, мы не сможем найти частное, которое при умножении на делитель 3xyz дало бы делимое 6xy2, поскольку такое умножение обязательно будет содержать переменную z, которой нет в 6xy2.

Но если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.

Для проверки умножим частное 2xyz на делитель 2xy. В результате должен получиться одночлен 4x2y2z

2xyz × 2xy = (2 × 2) × (xx) × (yy) × z = 4x2y2z

Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.

Пример 2. Разделить одночлен 12a2b3c3 на одночлен 4a2bc

Пример 3. Разделить одночлен x2y3z на одночлен xy2

Дополнительно упомянем, что деление одночлена на одночлен также невозможно, если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя.

Например, разделить одночлен 2x на одночлен x2 нельзя, поскольку степень x, входящая в делимое, имеет показатель 1, тогда как степень x2, входящая в делитель, имеет показатель 2. Мы не сможем найти частное, которое при перемножении с делителем x2 даст в результате делимое 2x.

и такое частное при перемножении с делителем x2 будет давать в результате делимое 2x

Но нас пока интересуют только те частные, которые являются так называемыми целыми выражениями. Целые выражения это те выражения, которые не являются дробями, в знаменателе которых содержится буквенное выражение. А частное целым выражением не является. Это дробное выражение, в знаменателе которого содержится буквенное выражение.

Возведение одночлена в степень

Одночлен можно возвести в степень. Для этого используют правило возведения степени в степень.

Пример 1. Возвести одночлен xy во вторую степень.

Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый сомножитель этого одночлена

(xy)2 = x2y2

Пример 2. Возвести одночлен −5a3b во вторую степень.

(−5a3b)2 = (−5)2 × (a3)2 × b2 = 25a6b2

Пример 3. Возвести одночлен −a2bc3 в пятую степень.

(−a2bc3)5 = (−1)5 × (a2)5 × b5 × (c3)5 = −1a10b5c15 = −a10b5c15

Когда коэффициент равен −1, то саму единицу не записывают. Записывают только минус и потом остальные сомножители одночлена. В приведенном примере сначала получился одночлен −1a10b5c15, затем он был заменён на тождественно равный ему одночлен −a10b5c15.

Пример 4. Представить одночлен 4×2 в виде одночлена, возведённого в квадрат.

В данном примере нужно найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 4×2. Очевидно, что это произведение 2x. Если это произведение возвести во вторую степень (в квадрат), то получится 4×2

(2x)2 = 22×2 = 4×2

Значит, 4×2 = (2x)2. Выражение (2x)2 это и есть одночлен, возведённый в квадрат.

Пример 5. Представить одночлен 121a6 в виде одночлена, возведённого в квадрат.

Попробуем найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 121a6.

Прежде всего заметим, что число 121 получается, если число 11 возвести в квадрат. То есть первый сомножитель будущего произведения мы нашли. А степень a6 получается в том случае, если возвести в квадрат степень a3. Значит вторым сомножителем будущего произведения будет a3.

Таким образом, если произведение 11a3 возвести во вторую степень, то получится  121a6

(11a3)2 = 112 × (a3)2 = 121a6

Значит, 121a6 = (11a3)2. Выражение (11a3)2 это и есть одночлен, возведённый в квадрат.

Разложение одночлена на множители

Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.

Пример 1. Разложить одночлен 3a3b2 на множители

Данный одночлен можно разложить на множители 3, a, a, a, b, b

3a3b2 = 3aaabb

Либо степень b2 можно не раскладывать на множители b и b

3a3b2 = 3aaab2

Либо степень b2 разложить на множители b и b, а степень a3 оставить без изменений

3a3b2 = 3a3bb

В каком виде представлять одночлен зависит от решаемой задачи. Главное, чтобы разложение было тождественно равно исходному одночлену.

Пример 2. Разложить одночлен 10a2b3c4 на множители.

Разложим коэффициент 10 на множители 2 и 5, степень a2 разложим на множители aa, степень b3 — на множители bbb, степень c4 — на множители cccc

10a2b3c4  = 2 × 5 × aabbbcccc

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Приведите одночлен −2aba к стандартному виду.

Задание 2. Приведите одночлен 0,5× 2n к стандартному виду.

Решение:

0,5m × 2n = (0,5 × 2)(mn) = 1mn = mn

Задание 3. Приведите одночлен −8ab(−2,5)b2 к стандартному виду.

Решение:

−8ab(−2,5)b2 = −8 × (−2,5) × a × (b × b2) = 20ab3

Задание 4. Приведите одночлен 0,15pq × 4pq2 к стандартному виду.

Решение:

Задание 5. Приведите одночлен −2x× 0,5xy2 к стандартному виду.

Решение:

Задание 6. Приведите одночлен 2m3× 0,4mn к стандартному виду.

Решение:

Задание 7.

Приведите одночлен 

к стандартному виду.

Решение:

Задание 8.

Приведите одночлен 

к стандартному виду.

Решение:

Задание 10. Перемножьте одночлены 6x, 5x и y

Решение:

6x × 5x × y = 30x2y

Задание 11. Перемножьте одночлены 2x2, 2x3 и y2

Решение:

2x2 × 2x3 × y2 = (2 × 2) × (x2x3) × y2 = 4x5y2

Задание 12. Перемножьте одночлены −8x и 5x3

Решение:

−8x × 5x3 = (−8 × 5)×(xx3) = −40x4

Задание 13. Перемножьте одночлены x2y5 и (−6xy2)

Решение:

x2y5 × (−6xy2) = −6 × (x2x) × (y5y2) = −6x3y7

Задание 14. Выполните умножение:

Решение:

Задание 15. Выполните умножение:

Решение:

Задание 16. Возведите одночлен x2y2z2 в третью степень

Решение:

(x2y2z2)3 = (x2)3 × (y2)3 × (z2)3 = x6y6z6

Задание 17. Возведите одночлен xy2z3 в пятую степень.

Решение:

(xy2z3)5 = x5 × (y2)5 × (z3)5 = x5y10z15

Задание 18. Возведите одночлен 4x во вторую степень.

Решение:

(4x)2 = 42 × x2 = 16x2

Задание 19. Возведите одночлен 2y3 в третью степень.

Решение:

(2y3)3 = 23 × (y3)3 = 8y9

Задание 20. Возведите одночлен −0,6x3y2 в третью степень.

Решение:

(−0,6x3y2)3 = (−0,6)3 × (x3)3 × (y2)3= −0,216x9y6

Задание 21. Возведите одночлен x2yz3 в пятую степень.

Решение:

(−x2yz3)5 = (−x2)5 × y5 × (z3)5= −x10y5z15

Задание 22. Возведите одночлен −x3y2z во вторую степень.

Решение:

(−x3y2z)2 = (−x3)2 × (y2)2 × z2 = x6y4z2

Задание 23. Представьте одночлен −27x6y9 в виде одночлена, возведённого в куб.

Решение:

−27x6y9 = (−3x2y3)3

Задание 24. Представьте одночлен −a3b6 в виде одночлена, возведённого в куб.

Задание 25.

 Выполните деление

Решение:

Задание 26.

 Выполните деление

Решение:

Задание 27.

 Выполните деление

Решение:

Задание 28.

 Выполните деление

Решение:

Задание 29.

 Выполните деление

Решение:

Задание 30.

 Выполните деление

Решение:

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Семейный портал