Правила вычисления производных

Производная сложной функции

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Название Функция Производная
Константа f(x) = C, CR 0 (да-да, ноль!)
Степень с рациональным показателем f(x) = xn n · xn − 1
Синус f(x) = sin x cos x
Косинус f(x) = cos x − sin x (минус синус)
Тангенс f(x) = tg x 1/cos2x
Котангенс f(x) = ctg x − 1/sin2x
Натуральный логарифм f(x) = ln x 1/x
Произвольный логарифм f(x) = logax 1/(x · ln a)
Показательная функция f(x) = ex ex (ничего не изменилось)

(C · f)’ = C · f ’.

(2×3)’ = 2 · (x3)’ = 2 · 3×2 = 6×2.

Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f(x) = sin x и заменить переменную x, скажем, на x2 ln x. Получится f(x) = sin (x2 ln x) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

f ’(x) = f ’(t) · t ’, если x заменяется на t(x).

Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (et)’ · t ’ = et · t ’

Правила вычисления производных

f ’(x) = et · t ’ = e2x 3 · (2x 3)’ = e2x 3 · 2 = 2 · e2x 3

g ’(x) = g ’(t) · t ’ = (sin t)’ · t ’ = cos t · t ’

g ’(x) = cos (x2 ln x) · (x2 ln x)’ = cos (x2 ln x) · (2x 1/x).

Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

Ответ:f ’(x) = 2 · e2x 3;g ’(x) = (2x 1/x) · cos (x2 ln x).

Скачать: [Скачать все правила]

Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

(xn)’ = n · xn − 1

Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x0,5. А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

f(x) = (x2 8x − 7)0,5.

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t0,5)’ · t ’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

f ’(x) = 0,5 · (x2 8x − 7)−0,5 · (x2 8x − 7)’ = 0,5 · (2x 8) · (x2 8x − 7)−0,5.

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Просмотреть наше видео на youtube

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

производная объяснение для чайников

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Геометрический и физический смысл производной

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Производная суммы и разности

Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

  1. (f g)’ = fg
  2. (fg)’ = f ’ − g

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f g h)’ = f ’ g ’ h ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

f ’(x) = (x2 sin x)’ = (x2)’ (sin x)’ = 2x cos x;

g ’(x) = (x4 2×2 − 3)’ = (x4 2×2 (−3))’ = (x4)’ (2×2)’ (−3)’ = 4×3 4x 0 = 4x · (x2 1).

Ответ:f ’(x) = 2x cos x;g ’(x) = 4x · (x2 1).

Производная произведения

(f · g) ’ = f ’ · g f · g ’

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

f ’(x) = (x3 · cos x)’ = (x3)’ · cos x x3 · (cos x)’ = 3×2 · cos x x3 · (− sin x) = x2 · (3cos x − x · sin x)

g ’(x) = ((x2 7x − 7) · ex)’ = (x2 7x − 7)’ · ex (x2 7x − 7) · (ex)’ = (2x 7) · ex (x2 7x − 7) · ex = ex · (2x 7 x2 7x −7) = (x2 9x) · ex = x(x 9) · ex.

высшая математика для чайников производные

Ответ:f ’(x) = x2 · (3cos x − x · sin x);g ’(x) = x(x 9) · ex.

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее.

Производная частного

Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g2? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Семейный портал