Что такое натуральное число в математике 4

Как называются компоненты умножения

Из десяти цифр можно записать абсолютно любую существующую сумму классов и разрядов. Натуральными значениями считаются те, которые используются:

  • При счете каких-либо предметов (первый, второй, третий, … пятый, … десятый).
  • При обозначении количества предметов (один, два, три…)

N значения всегда целые и положительные. Наибольшего N не существует, так как множество целых значений не ограничено.

Внимание! Натуральные числа получаются при счете предметов или при обозначении их количества.

Абсолютно любое число может быть разложено и представлено в виде разрядных слагаемых, например: 8.346.809=8 миллионов 346 тысяч 809 единиц.

Во многих простых и даже сложных задачах нахождение ответа зависит от умения школьников умножать.

Для того, чтобы быстро и правильно умножать и уметь решать обратные задачи, необходимо знать компоненты умножения.

15.10=150. В данном выражении 15 и 10 являются множителями, а 150 – произведением.

Умножение обладает свойствами, которые необходимы при решении задач, уравнений и неравенств:

  • От перестановки множителей конечное произведение не изменится.
  • Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель (справедливо для всех множителей).

Например: 15.Х=150. Разделим произведение на известный множитель. 150:15=10. Сделаем проверку. 15.10=150. По такому принципу решаются даже сложные линейные уравнения (если упростить их).

Важно! Произведение может состоять не только из двух множителей. Например: 840=2.5.7.3.4

Что такое натуральные числа в математике?

Разряды и классы натуральных чисел

Определение

Аксиомы Пеано

Введём функциюS, которая сопоставляет числу xследующее за ним число.

  1. 1inmathbb{N} (1 является натуральным числом);
  2. Если xinmathbb{N}, то S(x)inmathbb{N} (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
  3. nexists xinmathbb{N} (S(x) = 1) (1 не следует ни за каким натуральным числом);
  4. Если S(b) = a и S(c) = a, тогда b = c (если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b = c);
  5. Аксиома индукции. Пусть P(n) — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа n. Тогда:
если P(1) и forall n;(P(n)Rightarrow P(S(n))), то forall n;P(n)
(Если некоторое высказывание P верно для n = 1 (база индукции) и для любого n при допущении, что верно P(n), верно и P(n 1)(индукционное предположение), тоP(n) верно для любых натуральных n).

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают 0, 1, 2, ….

Замечание

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах заменяют 1 на 0. В этом случае ноль считается натуральным числом.

В русской литературе обычно ноль исключен из числа натуральных чисел , а множество натуральных чисел с нулем обозначается как .

Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как , а без нуля как .

Наименьшее натуральное число

В большинстве математических школ наименьшим значением N считается единица, так как отсутствие предметов считается пустотой.

Решение логарифмических уравнений

Но в иностранных математических школах, например во французской, нуль считается натуральным. Наличие в ряде нуля облегчает доказательство некоторых теорем.

Ряд значений N, включающий в себя нуль, называется расширенным и обозначается символом N0 (нулевой индекс).

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

  • Сложение. Слагаемое Слагаемое = Сумма
  • Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
  • Возведение в степеньab, где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

  • Вычитание. Уменьшаемое Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
  • Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a = p * b r, причём 0leqslant r{amp}amp;amp;lt;b. Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе a можно представить в виде a = p * 0 a, то есть можно было бы считать частным 0, а остатком = a.

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцоцелых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A относительно биекций как [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

  • [A][B] = [AB]

где — дизъюнктное объединение множеств, — прямое произведение, AB — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Основные свойства

  1. Коммутативность сложения. ,! a b = b a
  2. Коммутативность умножения. ,! ab = ba
  3. Ассоциативность сложения. ,! (a b) c = a (b c)
  4. Ассоциативность умножения. ,! (ab)c = a(bc)
  5. Дистрибутивность умножения относительно сложения. ,! begin{cases} a(b c) = ab ac \ (b c)a = ba ca end{cases}

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел и рациональных положительных чисел соответсвенно.

Последовательность в N

от нуля до плюс бесконечности, включая концы, и от единицы до плюс бесконечности, включая концы, то есть все положительные целые ответы.

N совокупности цифр могут быть как четными, так и не четными. Рассмотрим понятие нечетности.

Нечетные (любые нечетные оканчиваются на цифры 1, 3, 5, 7, 9.) при делении на два имеют остаток. Например, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Натуральные числа в русском языке

  • Числа от 1 до 10 — один (1), два (2), три (3), четы́ре (4), пять (5), шесть (6), семь (7), во́семь (8), де́вять (9), де́сять (10).
  • Числа от 11 до 20 — оди́ннадцать (11), двена́дцать (12), трина́дцать (13), четы́рнадцать (14), пятна́дцать (15), шестна́дцать (16), семна́дцать (17), восемна́дцать (18), девятна́дцать (19), два́дцать (20).
  • Числа от 30 до 90 — три́дцать (30), со́рок (40), пятьдеся́т (50), шестьдеся́т (60), се́мьдесят (70), во́семьдесят (80), девяно́сто (90).
  • Числа от 100 до 900 — сто (100), две́сти (200), три́ста (300), четы́реста (400), пятьсо́т (500), шестьсо́т (600), семьсо́т(700), восемьсо́т (800), девятьсо́т (900).

Свойства N

Как и все другие множества, N обладают своими собственными, особыми свойствами. Рассмотрим свойства N ряда (не расширенного).

  • Значение, которое является самым маленьким и которое не следует ни за каким другим – это единица.
  • N представляют собой последовательность, то есть одно натуральное значение следует за другим (кроме единицы – оно первое).
  • Когда мы производим вычислительные операции над N суммами разрядов и классов (складываем, умножаем), то в ответе всегда получается натуральное значение.
  • При вычислениях можно использовать перестановку и сочетание.
  • Каждое последующее значение не может быть меньше предыдущего. Также в N ряде будет действовать такой закон: если число А меньше В, то в числовом ряде всегда найдется С, для которого справедливо равенство: А С=В.
  • Если взять два натуральных выражения, например А и В, то для них будет справедливо одно из выражений: А=В, А больше В, А меньше В.
  • Если А меньше В, а В меньше С, то отсюда следует, что А меньше С.
  • Если А меньше В, то следует, что: если прибавить к ним одно и то же выражение (С), то А С меньше В С. Также справедливо, что если эти значения умножить на С, то АС меньше АВ.
  • Если В больше А, но меньше С, то справедливо: В-А меньше С-А.

Внимание! Все вышеперечисленные неравенства действительны и в обратном направлении.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Семейный портал